Geometria Descritiva

para o ano lectivo de 2011/2012

2011-10-07T22:07:00.001+01:00

A partir deste link, poderá aceder ao mapa do meu site (optimizado para chrome e firefox), que elaborei de modo a que a visão global de todos os seus conteúdos seja mais clara e de fácil acesso.
Para todos quantos se dedicarão à aprendizagem da geometria descritiva no ensino secundário, recomendo a consulta desta página e das hiperligações que podem ser consultadas aqui.
Através dos comentários deste blogue, do facebook ou de veraviana@veraviana.net, continuarei ao dispor para esclarecer qualquer questão, responder a comentários ou partilhar informações.
Obrigada pela visita e um bom ano lectivo para todos!

Exame nacional de Geometria Descritiva de 2011 - 2ª fase

2011-07-26T17:45:00.000+01:00

Por aqui poderão consultar a minha proposta de resolução do exame de 2011, 2ª fase.

Mais tarde publicarei também, no mesmo link, o meu comentário sobre a prova, respondendo, entretanto, a quaisquer comentários.

Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

Exame nacional de Geometria Descritiva de 2011 - 1ª fase

2011-06-30T12:34:00.000+01:00

Consultem aqui a minha proposta de resolução do exame de 2011, 1ª fase.

Mais logo publicarei aqui o meu comentário sobre a prova e responderei a quaisquer comentários.

Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

renovação do site www.veraviana.net

2011-02-21T19:03:00.001Z

Redistribuí recentemente os menus do meu site, separando-os pelas seguintes páginas, para que haja uma melhor percepção de todos os seus conteúdos e para que estes sejam mais facilmente acessíveis:
- sistema de representação diédrica
- sistema de representação axonométrica
- conceitos de geometria sólida
- explorações sobre geometria plana
- impressões e expressões
Espero ter conseguido, de algum modo, cumprir este objectivo e continuarei a agradecer as vossas visitas e sugestões através dos comentários deste post.
Bem hajam e continuação de bom trabalho para todos,
Vera Viana

Exame nacional de Geometria Descritiva de 2011

2011-02-03T10:03:00.005Z

Consulte aqui as informações do GAVE sobre o Exame Nacional de Geometria Descritiva A que se realizará em 2011, no dia 30 de Junho (1ª fase) às 9h00 e no dia 26 de Julho (2ª fase) às 14h00.
O exame terá a duração de 2h30m, podendo o/a aluno/a, se quiser, usufruir de mais 30 minutos para o concluir.
Algumas horas após a conclusão de cada um dos exames, publicarei aqui os links a partir dos quais poderá consultar as minhas propostas de resolução para cada um dos exercícios.
A propósito, aconselho a consulta:
- da página do meu site relativa aos exames nacionais de geometria descritiva, que inclui informações sobre os conteúdos do exame nacional, conselhos sobre exercícios a resolver para a preparação do exame e propostas de resolução dos exames anteriores
- deste post, referente a algumas hiperligações úteis para todos quantos se dedicam à aprendizagem da Geometria Descritiva no Ensino Secundário.
Continuação de bom trabalho e até breve,
Vera Viana

Informações úteis no início de mais um ano lectivo

2010-09-22T10:02:00.002+01:00

À semelhança do que, no início de cada ano lectivo, tenho vindo a fazer desde que, em 2007, criei este blogue, recomendo algumas hiperligações activas do meu site, para todos quantos se dedicarão à aprendizagem da Geometria Descritiva no Ensino Secundário:

SOBRE O PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A:
Programa de Geometria Descritiva A no Ensino Secundário
Planificação anual para o 10º ano de escolaridade
Planificação anual para o 11º ano de escolaridade
Listagem de conteúdos programáticos de GD-A, do 10º ano de escolaridade
Listagem de conteúdos programáticos de GD-A, do 11º ano de escolaridade

SOBRE O SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA:
- Exercícios resolvidos
- Exercícios resolvidos passo-a-passo
Construções dinâmicas diversas, para visualização de conteúdos do Sistema de Representação Diédrica:
- Pontos e rectas
- Pontos, rectas e planos
- Intersecções
- Distâncias
- Ângulos
- Figuras Planas
- Sólidos
- Secções
- Sombras de figuras planas e de sólidos

SOBRE O SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA:
- Exercícios resolvidos
- Exercícios resolvidos passo-a-passo
Construções dinâmicas para visualização de conteúdos do Sistema de Representação Axonométrica:
- Axonometrias ortogonais
- Axonometrias clinogonais
- Representação axonométrica de sólidos platónicos
- Representação Axonométrica de sólidos arquimedianos
- Representação Axonométrica de antiprismas convexos
- Representação axonométrica da stella octangula

SOBRE O EXAME NACIONAL, A REALIZAR NO FINAL DO 11º ANO:
- Estrutura do exame nacional de Geometria Descritiva A
- Conselhos para a preparação para o exame nacional de GD-A

Aconselho ainda a consulta das seguintes hiperligações:
- http://www.aproged.pt/exercicios.html (todos os exercícios de GD-A de exame nacional desde 1996)
- http://www.aproged.pt/examesgeometria.html (todos os exames nacionais de GD-A, desde 1996, com os respectivos enunciados e resoluções)
- http://www.aproged.pt/linksuteis.html (uma selecção de hiperligações úteis sobre a disciplina)

Através dos comentários de qualquer mensagem deste blogue, do facebook, ou do endereço veraviana@veraviana.net, estarei ao dispor para esclarecer quaisquer dúvidas e ler as vossas opiniões, comentários ou sugestões, a que responderei mal me seja possível.

Obrigada pela visita e um bom ano lectivo para todos.
Vera Viana

Exame nacional de GD-A de 2010 - 2ª fase

2010-07-16T08:40:00.002+01:00

Depois do exame de hoje, que terminará por volta das 17h00, publicarei aqui a minha proposta de resolução do exame.
Boa sorte para o exame e até logo.

Exame nacional de GD-A de 2010 - 1ª fase

2010-06-23T06:22:00.000+01:00

Durante a tarde de hoje publicarei aqui a minha proposta de resolução do exame.
Boa sorte para o exame e até logo.

Exame de GD-A de 2010 / Mudança de blogue para site

2010-01-03T07:39:00.058Z

Exame nacional de Geometria Descritiva de 2010
Consulte aqui as informações do GAVE sobre o Exame Nacional de Geometria Descritiva A que se realizará, em 2010, no dia 23 de Junho (1ª fase) às 9h00 e no dia 16 de Julho às 14h00. O exame terá a duração de 2h30, podendo o/a aluno/a, se quiser, usufruir de mais 30 minutos para o concluir.
Consulte aqui a mensagem que publiquei anteriormente relativa aos conteúdos que serão objecto de exame nacional.

Mudança de blogue para site
Agradecendo a todos pela visita ao meu blogue, comunico que estou a transferir o seu conteúdo para aqui.
Veja AQUI o mapa do meu site, com a listagem dos seus conteúdos.

Muito obrigada a todos pelas visitas e pelos comentários, continuação de bom trabalho e até breve,
Vera Viana

Representação axonométrica de um antiprisma pentagonal semi-regular

2010-01-02T12:19:00.000Z

Veja aqui a representação axonométrica de um antiprisma pentagonal semi-regular.

Representação diédrica de um Prisma hexagonal de bases de rampa

2009-12-05T12:22:00.008Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui.

Representação diédrica de um Cubo com uma das faces pertencente a um Plano Passante

2009-11-29T23:38:00.009Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui.

Representação diédrica de um Pentágono regular pertencente a um Plano Passante

2009-11-24T12:07:00.072Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui

Representação diédrica de uma Pirâmide quadrangular regular de base oblíqua

2009-11-16T12:57:00.004Z

O conteúdo deste mensagem foi transferido para aqui.

Representação de um Quadrado pertencente a um Plano Oblíquo em tensão

2009-11-14T10:23:00.005Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui.

Representação diédrica de uma Pirâmide hexagonal regular de base oblíqua

2009-11-12T12:47:00.002Z

A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos (se aceder ao botão com as duas setas, poderá fazer avançar ou retroceder a sequência dos passos da resolução. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar).

Representa, com um traçado adequado, as projecções de uma Pirâmide hexagonal regular situada no espaço do primeiro diedro, sabendo que:
- a base [ABCDEF] pertence ao plano oblíquo alfa, cujos traços horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º e 45º, ambos com abertura para a direita
- A (8,5; 3)
- a aresta [BC] pertence ao Plano Frontal de Projecção
- o vértice principal da pirâmide situa-se no Plano Horizontal de Projecção.

Este exercício foi adaptado a partir deste.
As projecções da base da pirâmide foram preenchidas com uma mancha azul, de modo a facilitar a compreensão das invisibilidades das arestas laterais da pirâmide.

O processo de resolução aqui apresentado é um dos exemplos possíveis que poderiam ser seguidos para a resolução deste exercício.

Representação diédrica de um Hexágono regular pertencente a um Plano Oblíquo

2009-11-12T10:45:00.007Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui.

Representação diédrica de um Prisma pentagonal recto de bases oblíquas

2009-11-07T11:59:00.023Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui

Representação diédrica de um Pentágono regular pertencente a um Plano Oblíquo

2009-10-26T10:59:00.030Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui

Representação Diédrica da Recta - Exercícios

2009-10-26T08:48:00.005Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui.

Paralelismo - exercícios

2009-10-18T12:44:00.012+01:00

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui

Axonometria Ortogonal de um Octaedro Truncado

2009-10-16T13:42:00.008+01:00

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui

Mais um ano lectivo que se aproxima...

2009-09-01T10:20:00.014+01:00

E aqui estamos de novo, prontos/as para iniciar mais um ano lectivo.
Tanto alunos como professores de Geometria Descritiva do Ensino Secundário poderão achar úteis as seguintes ligações para alguns conteúdos deste blogue:

- Listagem completa dos conteúdos a abordar durante o 10º ano de escolaridade de Geometria Descritiva
- Exemplo de Planificação anual para o 10º ano de escolaridade de Geometria Descritiva
- Listagem completa dos conteúdos a abordar durante o 11º ano de escolaridade de Geometria Descritiva
- Exemplo de Planificação anual para o 11º ano de escolaridade de Geometria Descritiva
- E, apesar de ainda faltar muito para o final do ano lectivo, convém que os alunos do 11º ano de escolaridade tenham, desde já, uma ideia dos Conteúdos do Exame Nacional.

Para os que ainda o não conhecem, chamo a atenção para o facto de todos os conteúdos disponíveis neste blogue poderem ser consultados a partir dos links da coluna lateral esquerda, sob os títulos: "ÚLTIMAS ACTUALIZAÇÕES", "EXERCÍCIOS E CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS" e "TÓPICOS ABORDADOS". Na mesma coluna, cada uma das IMAGENS direccioná-lo-á para construções dinâmicas sobre os conteúdos do programa da disciplina especificados no respectivo título.
Através dos comentários de qualquer mensagem, estarei ao vosso dispor para esclarecer quaisquer dúvidas e ler as vossas opiniões, comentários ou sugestões, a que responderei mal me seja possível.

Obrigada pela visita e um bom ano lectivo para todos.
Vera Viana

Axonometria Ortogonal de um Cuboctaedro e de um cubo Truncado

2009-08-11T09:56:00.017+01:00

O conteúdo desta mensagem foi trasnferido para aqui.

Exame de 2009- 2ª fase - Proposta de Resolução

2009-07-15T18:33:00.024+01:00

O conteúdo desta mensagem fou transferido para AQUI

Secção produzida numa pirâmide por um plano vertical

2009-07-03T12:34:00.006+01:00

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui

Secção produzida por um plano vertical num prisma pentagonal de bases frontais

2009-06-28T17:39:00.005+01:00

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui

Exame de 2009- 1ª fase - Proposta de Resolução

2009-06-22T21:29:00.013+01:00

O conteúdo desta mensagem foi transferido para AQUI

Conteúdos do Exame Nacional de GD-A de 2009

2009-05-30T08:19:00.004+01:00

O conteúdo desta mensagem foi transferido para AQUI

Pontos e Rectas pertencentes ao Plano de Perfil

2009-05-30T06:59:00.030+01:00

Os exercícios seguintes são de exame nacional e envolvem a representação de pontos e de rectas pertencentes ao plano de perfil, razão determinante para a utilização de um Método Geométrico Auxiliar ou o recurso a uma terceira projecção, obtida no plano lateral zy.
As propostas de resolução apresentadas foram realizadas rebatendo o plano de perfil em causa sobre um dos Planos de Projecção.

1. 1997 1ª Fase - 2ª Chamada
Determine as projecções do ponto I de intersecção de duas rectas de perfil r e s.
Dados:
- a recta r contém os pontos A (O; 7; 1 ) e B (O; -2; 10)
- a recta s contém o ponto C (O; 1; 2) e é paralela ao Bissector dos Diedros Ímpares

2. 1999 Prova Modelo
Determine as projecções dos pontos X e Y resultantes da intersecção de uma recta p com uma circunferência com ela complanar.
Dados:
- a recta e a circunferência estão ambas contidas num plano de perfil pí
- a recta p contém o ponto A, com 6 de afastamento e 10 de cota, e intersecta o Plano Horizontal de Projecção num ponto H, com 1 de afastamento;
- o centro da circunferência é o ponto O, com 5 de afastamento e 4 de cota
- a curva é tangente ao Plano Horizontal de Projecção.

3. 2001 2º Fase
Determine as projecções dos pontos X e Y, de intersecção de duas circunferências contidas num plano de perfil pí.
Dados:
- A primeira circunferência, cujo centro é o ponto C (4; 6; 4), é tangente ao traço horizontal do plano pí
- A segunda circunferência, cujo centro é o ponto O, com 4 de afastamento e 6 de cota, é tangente ao traço frontal do plano pí

4. 2001 1º Fase – 1ª Chamada
Determine os pontos H e F, que são os traços de uma recta de perfil p nos planos de projecção.
Dados:
- A recta p contém os pontos A e B;
- O ponto A tem 3 de afastamento e pertence ao Plano Bissector dos Diedros Ímpares
- O ponto B, que está situado no segundo Diedro, tem -2 de afastamento e 8 de cota.

5. 2002 1º Fase – 1ª Chamada
Determine as projecções dos pontos I e Q, que são os traços da recta de perfil pí nos planos bissectores, respectivamente, dos diedros pares e ímpares.
Dados:
- A recta p contém os pontos A e H;
- O ponto A fica situado no segundo diedro e tem -3 de afastamento e 5 de cota;
- O ponto H pertence ao Plano Horizontal de Projecção e tem 7 de afastamento.

6. 2003 2º Fase
Determine as projecções dos pontos H e F da recta de perfil p.
Dados:
- Os pontos H e F são, respectivamente, os traços horizontal e frontal da recta p nos planos de projecção;
- A recta p é definida pelos pontos A (0; 6; -2) e B;
- O ponto B pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 3 de cota.

7. Exame de 2008 1ª fase
Determine as projecções do ponto de intersecção, I, da recta de perfil r com o plano de rampa ρ.
Dados:
– o plano ρ tem o seu traço horizontal com –7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
– a recta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).

Figuras Planas pertencentes ao Plano de Topo, Vertical ou de Perfil

2009-05-30T06:59:00.029+01:00

Estes são todos os exercícios de exame nacional em que nos pedem a representação de figuras planas pertencentes a planos projectantes. Por não se projectarem em verdadeira grandeza em nenhum dos Planos de Projecção, para determinarmos as suas projecções, devemos recorrer a um Método Geométrico Auxiliar - as propostas de resolução aqui apresentadas recorrem ao método dos Rebatimentos ou da Mudança de Diedro.

FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE TOPO

1. 1997 Prova Modelo
Determina as projecções de um quadrado [ABCD], contido num plano de topo alfa.
Dados:
- O plano alfa faz um diedro de 45º com o Plano Horizontal de Projecção, com abertura para o lado direito;
- A diagonal [AC] da figura está contida no Bissector dos Diedros ímpares;
- O vértice A tem 2 de cota e o vértice C tem 6 de afastamento.

2. 1997 2ª Fase
Desenhe as projecções de um hexágono regular [ABCDEF], existente no espaço do Primeiro Diedro e contido num plano de topo beta.
Dados:
- o plano de topo beta faz um diedro de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção
- os pontos A (0; 4; 0) e B (0; 9; 0) são dois vértices consecutivos da figura.

3. 1998 1º Fase – 1ª Chamada
Determine as projecções de um quadrado [ABCD], contido num plano de topo pí e existente no espaço do primeiro diedro.
Dados:
- o plano pí faz um diedro de 60º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção;
- o ponto M, com 4 de afastamento, é o centro da figura e pertence ao Plano Bissector dos Diedros Ímpares;
- a diagonal [AC] está contida numa recta r, cuja projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, de abertura para a direita;
- o raio da circunferência circunscrita ao quadrado mede 4 cm.

4. 1999 1ª Fase - 2ª Chamada
Determine as projecções do triângulo equilátero [ABC], contido no plano de topo beta.
Dados:
- o plano de topo beta faz um diedro de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção, intersectando o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- o triângulo está inscrito numa circunferência, cujo centro é o ponto O, que tem 4 de afastamento e pertence ao Plano Bissector dos Diedros Ímpares;
- o vértice A da figura pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 3 de cota.
5. 2000 1ª Fase - 2ª Chamada
Determine as projecções do triângulo rectângulo [ABC], contido num plano de topo beta e existente no espaço do primeiro diedro.
Dados:
- os pontos A e B são os dois extremos de um dos catetos da figura
- o ponto A pertence ao Bissector dos Diedros Ímpares, tem -3 de abcissa e 2 de afastamento
- o ponto B, com -7 de abcissa e 6 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projecção
- o cateto [AC] mede 8 cm.

6. 2001 1ª Fase - 2ª Chamada
Determine as projecções do quadrado [ABCD], contido num plano de topo beta.
Dados:
- o ponto M (-2; 3,5; 2) é o ponto médio do lado [AB] do quadrado
- o ponto N (-6; 5,5; 6) é o ponto médio do lado [CD] do quadrado
(exercício resolvido por Mudança do Plano Horizontal de Projecção)

7. 2002 1º Fase – 2ª Chamada
Represente o rectângulo [ABCD], situado no 1º diedro e contido num plano de topo alfa.
Dados:
- os pontos A (0; 4; 0) e B (4; 0; 4) são dois vértices consecutivos da figura;
- as diagonais medem 8 cm.
8. 2002 2º Fase
Determine as projecções do quadrado [ABCD], contido num plano de topo alfa.
Dados:
- o quadrado esta inscrito numa circunferência de 4 cm de raio, com centro no ponto M (2,5; 6; 2,5);
- o vértice A pertence ao Plano Horizontal de Projecção e tem 0 de abcissa;
- o afastamento do vértice A é maior que o do ponto M.

9. 2003 1ª Fase - 1ª Chamada (programa em vigor até 2003)
Determine as projecções de um quadrado [ABCD] contido num plano de topo beta, situado no primeiro diedro.
Dados:
- o traço frontal do plano beta faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para a direita);
- um dos vértices do quadrado é o ponto A, com 3 de afastamento e 2 de cota;
- o lado do quadrado mede 5 cm;
- o vértice B pertence ao traço horizontal do plano beta

10.2003 1º Fase – 1ª Chamada (programa em vigor de 2002 a 2006)
Represente o pentágono regular [ABCDE], situado no 1º diedro e contido num plano de topo alfa.
Dados:
- o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto 0 (4; 3; 4);
- o vértice A do pentágono tem 5 de abcissa, 5 de cota e pertence ao plano frontal de projecção

11.2006 1ª Fase
Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no 1º diedro.
Dados:
- o hexágono esta contido no plano de topo alfa;
- o traço frontal do plano alfa contém um ponto do eixo x com 4 de abcissa e faz um ângulo de 50º com o mesmo eixo (de abertura para a direita);
- o vértice A do hexágono tem 2 de abcissa e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares
- o vértice B tem abcissa nula e 2 de afastamento.

FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO VERTICAL

12.1997 1ª Fase - 1ª Chamada
Represente, pelos seus traços nos Planos de Projecção, o plano vertical beta que contém o triângulo [ABC]. Desenhe as projecções do triângulo e determine a sua verdadeira grandeza.
Dados:
- os pontos A (O; 2; 4) e B (5; 7; 2) são dois vértices da figura;
- o vértice C tem 2 de abcissa e 8 de cota
(Observação: este exercício é invulgarmente simples, porque se determinam primeiro as projecções do triângulo e depois a sua verdadeira grandeza)
13.1998 Prova Modelo
Determine as projecções do hexágono regular [ABCDEF], contido num plano vertical alfa existente no espaço do Primeiro Diedro.
Dados:
- O plano alfa faz um diedro de 45º com o Plano Frontal de Projecção, com abertura para a direita
- O ponto A, que é um vértice da figura, pertence ao Plano Frontal de Projecção e tem 2,5 cm de cota;
- o lado do hexágono mede 5 cm
- o vértice B, que é contíguo ao vértice A, pertence ao Plano Horizontal de Projecção.

14.1998 1ª Fase – 2ª Chamada
Determine as projecções de um triângulo rectângulo [ABC], contido num plano vertical, existente no espaço do primeiro Diedro.
Dados:
- os pontos A (2; 2; 4) e C (7; 5; 2) são os extremos da hipotenusa do triângulo
- o ponto C é o vértice de menor cota da figura
- o cateto [AB] faz um ângulo de 60º com a hipotenusa.

15.1999 1ª Fase – 1ª Chamada
Determine as projecções do rectângulo [ABCD], contido no plano vertical alfa e situado no primeiro Diedro.
Dados:
- os pontos A (O; 2; 7) e B (4; 6; 1) são os extremos de um dos lados maiores do rectângulo
- os lados menores da figura medem 4 cm.

16.2000 1ª Fase – 1ª Chamada
Determine as projecções do triângulo equilátero [ABC], existente no espaço do primeiro diedro e contido num plano vertical alfa.
Dados:
- o plano vertical alfa faz, com o Plano Frontal de Projecção, um diedro de 60º de abertura para a direita
- os lados do triângulo medem 6 cm;
- o vértice A tem afastamento nulo e 4 de cota

17.2000 2ª Fase
Determine as projecções do pentágono regular [ABCDE], contido num plano vertical alfa.
Dados:
- o centro da figura é o ponto O (5; 3; 4)
- o plano vertical alfa intersecta o eixo x na origem das coordenadas;
- o vértice A do pentágono está contido no Plano Horizontal de Projecção e pertence à recta vertical v, que passa pelo ponto O

18.2002 1º Fase – 1ª Chamada
Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no 1º diedro e contido num plano vertical ómega.
Dados:
- o ponto A (0; 3; 5) é um dos vértices do hexágono;
- a diagonal [AD] do hexágono esta contida numa recta obliqua d, cujas projecções, horizontal e frontal, fazem com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60° (de abertura a esquerda) e 30° (de abertura a direita);
- os lados do hexágono medem 3 cm.

19.2002 1º Fase – 2ª Chamada (Programa em vigor até 2003)
Determine as projecções do hexágono regular [ABCDEF], existente no espaço do primeiro diedro e contido num plano vertical delta.
Dados:
- os pontos A e B são os extremos do lado [AB] da figura
- o ponto A pertence ao Plano Horizontal de Projecção, tem 3 de abcissa e 3 de afastamento
- o outro extremo é o ponto B (6; 6; 1,5).

20.2004 - 2ª Fase
Represente o quadrado [ABCD], situado no 1º diedro.
Dados:
- o quadrado está contido num plano vertical delta, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
- o quadrado está inscrito numa circunferência com centro no ponto 0 (0; 4; 6) e 3,5 cm de raio;
- o vértice A do quadrado tem -1 de abcissa
- A é o vértice de maior cota.

21.2005 1º Fase
Represente o rectângulo [ABCD], situado no 1º diedro.
Dados:
- o ponto A (-1; 2; 3) e o ponto B, com 1 de abcissa, são dois vértices consecutivos do rectângulo;
- o rectângulo está contido no plano vertical beta, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para a esquerda);
- o lado [AB] está contido numa recta cujas projecções, horizontal e frontal, são paralelas entre si;
- o lado maior do rectângulo mede 7 cm.

22.2003 1º Fase – 2ª Chamada
Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no 1º diedro.
Dados:
- o hexágono está contido num plano vertical alfa, cujos traços se intersectam num ponto com zero de abcissa;
- o traço horizontal do plano a faz um Ângulo de 60° com o eixo x, de abertura para a direita;
- o ponto A, com 3 de afastamento e 3 de cota, é um dos vértices do hexágono;
- o lado [AB] é horizontal e mede 4 cm.

FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE PERFIL

23.1999 1º Fase
Determine as projecções do quadrado [ABCD], contido num plano de perfil pí, assinalando-as a traço contínuo forte.
Dados:
- O centro da figura é o ponto O, que tem 4,5 cm de afastamento e pertence ao Plano Bissector dos Diedros Ímpares;
- O ponto A, com 1 de afastamento e 4 de cota, é um dos vértices do quadrado.

24.2003 1º Fase – 2ª Chamada
Determine as projecções do rectângulo [ABCD], contido no plano de perfil pí e situado no primeiro diedro, assinalando-as a traço contínuo forte.
Dados:
- Um dos vértices do rectângulo é o ponto A (1; 5; 8)
- O vértice B é um ponto do plano bissector dos diedros impares, com 2 de cota;
- O vértice C pertence ao Plano Horizontal de Projecção.

Secção produzida por um plano passante num cilindro oblíquo de bases horizontais

2009-05-19T18:00:00.010+01:00

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Axonometria Ortogonal da Stella Octangula

2009-05-07T18:17:00.025+01:00

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Sólidos de base(s) horizontal(ais) ou frontal(ais)

2009-04-21T07:27:00.012+01:00

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Axonometria Ortogonal de um Octaedro

2009-04-11T13:35:00.011+01:00

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Trimetria de um Cubo seccionado por um Plano de Rampa

2009-04-08T20:00:00.015+01:00

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Isometria de um Tetraedro Regular

2009-04-07T21:42:00.010+01:00

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Axonometria Ortogonal de um Cuboctaedro

2009-03-28T06:56:00.017Z

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Axonometria Ortogonal de um Cubo

2009-03-28T06:01:00.013Z

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Intersecções nos Exames Nacionais de GD A - 2

2009-03-24T07:06:00.028Z

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Recta horizontal pertencente a um plano oblíquo

2009-02-22T11:59:00.005Z

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Exercícios de Exame - Pontos e Rectas do Plano Oblíquo ou de Rampa

2009-02-19T07:17:00.025Z

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Plano Frontal, Vertical e de Perfil

2009-02-16T18:32:00.005Z

No desenho seguinte, o plano alfa é sempre perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção, mas vai mudando de posição em relação ao Plano Frontal de Projecção:
- quando é paralelo ao Plano Frontal de Projecção, ocupa a posição de um plano frontal, que tem apenas um traço - o horizontal, paralelo ao eixo x, e que por convenção, se representa por (h alfa). Sendo paralelo a este Plano de Projecção, todos os seus pontos, segmentos de recta, rectas e figuras planas têm igual afastamento;
- quando é oblíquo ao Plano Frontal de Projecção, é um plano vertical, cujos traços horizontal e frontal são, respectivamente, oblíquo e perpendicular ao eixo x;
- finalmente, quando se posiciona perpendicularmente ao Plano Frontal de Projecção, passa a ser um plano de perfil, de traços perpendiculares ao eixo x e coincidentes entre si:

Observação: podemos representar o plano vertical apenas pelo seu traço horizontal, desde que o representemos pela notação (h alfa), isto é, entre parêntisis. Deste modo, depreende-se que o traço do plano que não é representado é perpendicular ao eixo x. Esta convenção é aplicável também ao plano de topo.

Note-se que os pontos A e B têm a sua projecção horizontal sempre pertencente ao traço horizontal do plano que é um traço absorvente, pois, como veremos mais adiante, "absorve" as projecções horizontais de todos os elementos pertencentes ao plano.
Salienta-se ainda que, por conterem rectas projectantes horizontais (rectas que projectam o ponto no Plano Horizontal de Projecçao e que têm a mesma posição das rectas verticais), podemos designar cada um destes três planos como plano projectante horizontal (sendo que o plano de perfil é um plano duplamente projectante, porque contém também rectas projectantes frontais).
Posteriormente veremos que tipo de rectas poderá conter cada um destes planos.

Cilindro oblíquo de bases horizontais

2009-02-15T11:36:00.009Z

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Problemas Métricos- Ângulo de uma recta com um Plano

2009-02-08T18:10:00.013Z

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Figuras Planas paralelas aos Planos de Projecção - Exercícios

2009-02-02T08:15:00.014Z

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Pirâmides de base horizontal

2009-02-01T23:51:00.011Z

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Plano Horizontal

2009-02-01T17:19:00.005Z

O plano delta do desenho seguinte (a azul) é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção e perpendicular ao Plano Frontal de Projecção. Tem apenas um único traço, (f delta), paralelo ao eixo x, dado que intersecta apenas o Plano Frontal de Projecção (a intersecção com o outro Plano de Projecção é imprópria).
Dada a sua posição em relação ao Plano Horizontal de Projecção, este plano apenas poderá contar rectas paralelas ao Plano Horizontal de Projecção, conforme vimos aqui: horizontais (a preto), de topo (a vermelho) e fronto-horizontais (a verde), e sempre com a mesma cota (pois de outro modo, não pertencerão ao plano).

(Observação: quando a recta h, em movimento, fica perpendicular ao Plano Frontal de Projecção, a notação h2, que é coincidente com o traço frontal do plano, deve deixar de ser considerada, porque a projecção frontal da recta h passa a ser apenas um ponto, coincidente com Fh).

Podemos verificar que as rectas desenhadas são concorrentes entre si (respectivamente, g com t no ponto A; h com g no ponto B e h com t no ponto C). Na situação em que a recta h fica paralela à recta g ou naquela em que a recta h fica paralela à recta t, podemos referir que os respectivos pontos de concorrência são impróprios, de acordo com o que aqui se demonstra).
Os pontos A, B e C definem uma figura plana (neste caso, um triângulo rectângulo em A) que se projectará em verdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção, porque [AB], [AC] e [BC], são paralelos a esse plano (veja outro exemplo aqui).
Deste desenho podemos ainda verificar, em épura, quais as condições para que cada uma das rectas pertença ao plano horizontal, condições estas decorrentes do facto de que as três rectas têm a mesma cota do plano:
- a recta horizontal deverá ter a sua projecção frontal, h2, coincidente com o traço frontal do plano;
- a recta de topo deverá ter a sua projecção frontal, (t2), pertencente ao traço frontal do plano;
- a recta fronto-horizontal deverá ter a sua projecção frontal, g2, coincidente com o traço frontal do plano.
Idêntica conclusão se poderá tirar em relação ao ponto: para que pertença ao plano horizontal, basta que a sua projecção frontal pertença ao traço frontal do plano, sem que para tal tenha, necessariamente, de pertencer a uma recta do plano. Esta conclusão é também decorrente do facto de que o ponto tem cota idêntica à do plano.
Poderemos ainda designar o traço frontal do plano horizontal como um "traço absorvente", dado que "absorve" (contém) as projecções frontais de todos os elementos que lhe pertencem.

Figuras Planas Paralelas aos Planos de Projecção - 1

2009-01-31T22:20:00.012Z

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Pontos e Rectas pertencentes a Planos definidos (ou não) pelos seus traços

2009-01-31T07:55:00.018Z

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Superfícies regradas - 1

2009-01-25T10:36:00.021Z

A exposição de modelos tridimensionais de superfícies do museu do ISEP deu-me inspiração para desenhar, em representação isométrica, simulações de algumas superfícies regradas, introduzindo-lhes algumas animações (os elementos geradores de cada superfície situam-se no primeiro triedro, pertencendo a directriz ao plano coordenado horizontal xy).
A representação de superfícies regradas, em Representação Diédrica ou Axonométrica, não faz parte do programa actual da disciplina de Geometria Descritiva A, o que não implica que deixe de ser interessante ou facilite até a compreensão de outros conteúdos que vêm a propósito...
Como é que se gera uma superfície? Imaginemos uma semi-recta (idealmente, seria uma recta (infinita), mas fazer este tipo de desenhos com rectas torna-se um pouco mais complexo do que o pretendido, razão pela qual consideraremos que a geratriz pode ser uma semi-recta e, em alguns casos, um segmento de recta); esta semi-recta, deslocar-se-á segundo uma determinada regra e seguindo a direcção dada por outro elemento geométrico, chamado directriz, que dirigirá a geratriz.
Consideremos que a directriz é circunferencial e que a geratriz se vai movimentar segunda essa circunferência, mas, num primeiro momento, mantendo-se fixa num ponto pertencente ao eixo (a linha que passa pelo centro da circunferência, sendo-lhe (neste caso) perpendicular):

A trajectória da geratriz define uma superfície cónica, de vértice V:

A superfície que se vai gerar será cónica ou cilíndrica, consoante a distância a que o ponto de intersecção entre a geratriz e o eixo se situa da directriz.
No primeiro caso, este ponto (que será o vértice da superfície cónica) situa-se a uma distância finita da directriz, enquanto que, no último caso, o ponto de intersecção entre a geratriz e o eixo situar-se-á no infinito, ficando as geratrizes paralelas entre si.
Veja aqui uma tentativa de demonstração de como é que rectas paralelas se intersectam no infinito, a partir do qual poderemos concluir que a superfície cilíndrica é uma superfície cónica de vértice situado no infinito...

Para melhor compreensão, no desenho seguinte, as geratrizes são segmentos de recta, de modo a que vemos apenas um troço da superfície gerada originalmente:

Se a directriz for uma linha poligonal (neste caso, um dodecágono regular), e se a geratriz se deslocar segundo esta directriz, mantendo-se fixa num ponto pertencente ao eixo da superfície (neste caso, também perpendicular ao dodecágono, passando pelo seu centro), a superfície gerada será uma superfície piramidal dodecagonal, sendo aquele ponto o seu vértice.
Se movimentarmos o ponto de intersecção entre a geratriz e o eixo, deslocando-o ao longo do mesmo, podemos ver que a superfície gerada variará de piramidal a prismática. Neste último caso, o ponto de intersecção entre a geratriz e o eixo situar-se-á no infinito, o que implica que as geratrizes serão paralelas entre si:

Neste outro desenho, as geratrizes são segmentos de recta, pelo que vemos apenas um troço da superfície original. Para melhor compreensão da superfície resultante, atribuí traço contínuo expressivo às geratrizes que seriam visíveis e traço contínuo fino às que seriam invisíveis:

Mal me seja possível, voltarei a este assunto...

Secção produzida numa pirâmide por um plano de topo

2009-01-19T16:41:00.017Z

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Recta pertencente a um Plano definido pelos seus traços

2009-01-18T14:30:00.006Z

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Traços de um plano nos Planos de Projecção

2009-01-13T13:57:00.016Z

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Recta pertencente a um plano

2009-01-01T12:33:00.010Z

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Recta horizontal pertencente a um plano

2008-12-13T19:19:00.013Z

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Exame de GD-A de 2009

2008-12-12T08:36:00.007Z

O GAVE disponibizou aqui as informações sobre a prova de Exame Nacional de Geometria Descritiva A (Código 708) para o ano de 2009.
A estrutura do Exame mantém-se idêntica à do exame do ano passado - consulte a listagem de conteúdos para cada item da prova aqui.

Rectas paralelas ao plano bissector dos diedros ímpares

2008-12-05T06:17:00.010Z

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Recta vertical, oblíqua ou passante

2008-11-29T13:51:00.009Z

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Recta oblíqua, frontal, de perfil ou passante de perfil

2008-11-22T09:27:00.015Z

No desenho seguinte, podemos ver uma recta s que é sempre oblíqua ao Plano Horizontal de Projecção, contendo um ponto A do primeiro diedro, que, por sua vez, pertence a um plano de perfil pi, perpendicular aos dois Planos de Projecção (desenhado a cor vermelha).
Ao longo da trajectória definida, o traço horizontal da recta s e a própria recta s vão-se movimentando, ocupando várias posições.
Ao lado da representação dos Planos de Projecção e destes elementos, temos exactamente a mesma situação, em épura:

As posições da recta s variam entre:
- passante de perfil (quando a recta s pertence ao plano pi e intersecta o eixo x);
- oblíqua (quando s é oblíqua também ao Plano Frontal de Projecção, mas não pertence ao plano pi);
- frontal (quando s é paralela ao Plano Frontal de Projecção e s1 coincide com a linha azul-clara desenhada a traço interrompido);
- oblíqua novamente;
- até à posição em que, mantendo a obliquidade em relação ao Plano Frontal de Projecção, a recta s passa a pertencer ao plano de perfil pi (que contém o ponto A e é perpendicular aos dois Planos de Projecção). Nesta situação, a recta s é oblíqua aos dois Planos de Projecção, mas, por pertencer a um plano de perfil, todos os seus pontos têm a mesma abcissa e a recta passa a designar-se recta de perfil.
Estas quatro posições (passante de perfil, frontal, oblíqua ou de perfil) não são as únicas em que a recta pode ser oblíqua ao Plano Horizontal de Projecção. Existe ainda uma outra situação (a da recta passante), que brevemente apresentarei aqui.
As projecções da recta s em cada uma das situações referidas poderão ser as seguintes:
- quando a recta s é passante de perfil, tanto s1 como s2 são coincidentes e perpendiculares ao eixo x. Os traços frontal e horizontal da recta são também coincidentes, porque a recta s intersecta o P.F.P. no exacto ponto em que a recta intersecta também o P.H.P. - estes dois traços da recta terão, obviamente, e ambos, coordenadas nulas.
- quando a recta s é frontal, s1 é paralela ao eixo x e s2 é oblíqua ao eixo x;
- quando a recta s é oblíqua, tanto s1 como s2 são oblíquas ao eixo x;
- quando a recta s é de perfil, s1 e s2 são coincidentes e perpendiculares ao eixo x (mas os seus traços frontal e horizontal não são coincidentes).
O comprimento do segmento de recta [HsA] projectar-se-á em verdadeira grandeza apenas na situação em que a recta s é paralela ao Plano Frontal de Projecção (quando s é frontal, entre H2s e A2). Quando a recta s é passante de perfil, oblíqua ou de perfil, nunca se projectará em verdadeira grandeza em nenhum dos Planos de Projecção.

Recta fronto-horizontal, frontal ou vertical

2008-11-14T14:36:00.012Z

Nos desenhos seguintes, a recta f é sempre paralela ao Plano Frontal de Projecção.
Através da animação, vemos que a sua posição vai variando entre fronto-horizontal (quando fica paralela aos dois Planos de Projecção e ao eixo x) até vertical (quando fica perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção), passando por várias situações de obliquidade em relação ao Plano Horizontal de Projecção (situações estas em que a recta é frontal), sempre com abertura para a direita.
Ao lado da representação dos Planos de Projecção, temos a mesma situação, representada em épura:

As projecções da recta f poderão ser as seguintes:
- quando a recta f é fronto-horizontal, tanto f2 como f1 são paralelas ao eixo x;
- quando a recta f é frontal, f1 é paralela ao eixo x e f2 é oblíqua ao eixo x;
- quando a recta f é vertical, f2 é perpendicular ao eixo x e f1 é apenas um ponto, que deverá ser identificado com a notação (f1).

A certa altura da animação, aparece a amplitude do ângulo formado entre a recta f e o Plano Horizontal de Projecção. Este ângulo projecta-se em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção, no ângulo entre o eixo x e f2.

Relativamente aos pontos pertencentes à recta f (por exemplo, o ponto B e o traço horizontal da recta, Hf), verifica-se o seguinte:
- quando a recta f é fronto-horizontal, todos os seus pontos têm o mesmo afastamento e a mesma cota (mas não são necessariamente iguais entre si);
- quando a recta f é frontal, todos os seus pontos têm o mesmo afastamento, mas as cotas e as abcissas são diferentes entre si.
- quando a recta f é vertical, todos os seus pontos têm o mesmo afastamento e a mesma abcissa (mas não são necessariamente iguais entre si).

Em qualquer um destes casos, e por ser sempre paralelo ao Plano Frontal de Projecção, o comprimento de [HfB] (medida de Hf a B) projectar-se-á sempre em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção, na medida entre H2f e B2.
Se for fronto-horizontal, [HfB] terá também o seu comprimento projectado em verdadeira grandeza entre A1 e B1, por ser paralelo aos dois Planos de Projecção.

Recta e segmento de recta fronto-horizontal, horizontal ou de topo

2008-11-11T14:46:00.017Z

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Projecções de rectas concorrentes

2008-11-07T14:38:00.015Z

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Traço de uma recta no bissector dos diedros ímpares

2008-10-30T22:28:00.017Z

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Representação da recta no Sistema Diédrico

2008-10-22T14:39:00.018+01:00

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Representação de pontos no Sistema Diédrico

2008-10-20T06:35:00.012+01:00

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Porque é que o afastamento do ponto, quando é negativo, se marca para cima do eixo x?

2008-10-08T07:23:00.013+01:00

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Planificação do Sistema Diédrico

2008-09-30T22:35:00.011+01:00

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Rectas paralelas intersectam-se...?

2008-09-21T13:16:00.026+01:00

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Unidade 1, 2.1 e 2.2 do 10º ano de Geometria Descritiva A

2008-09-21T09:16:00.019+01:00

Depois da aula de apresentação, a introdução à disciplina deverá ser iniciada pelo esclarecimento de alguns conceitos geométricos fundamentais para a aprendizagem da disciplina, alguns dos quais são já conhecidos dos alunos de anos anteriores. É, portanto, um bom ponto de partida começar por abordar estes conteúdos, desenvolvendo-os e aproveitando para introduzir outros conceitos ou terminologias que serão importantes.

Partindo deste pressuposto, o programa da disciplina contempla o chamado "Módulo Inicial", que deverá ser abordado não só durante a primeira aula, mas também, em desenvolvimento, antes de iniciar cada um dos conteúdos subsequentes da disciplina.

Para esta primeira aula, para além do equipamento e do tipo de traçados a utilizar nos exercícios, abordo os conceitos de Ponto; Segmento de recta; Semi-recta; Recta; Circunferência e Arco de circunferência; Posição relativa entre duas rectas; Plano; Posição relativa entre rectas e planos; Intersecção (entre rectas, entre rectas e planos e entre planos); Ângulo entre rectas; Diedro; Triedro; Polígono; Sólido Geométrico; etc.

Ao abordar o objecto e finalidade da disciplina, com exemplos de desenhos realizados em diferentes sistemas de projecção, é fundamental explicar aos alunos as noções de Bimensionalidade e Tridimensionalidade e de que forma a Geometria Descritiva se ocupa do relacionamento entre ambas.

Aquando da referência ao Paralelismo entre rectas, é importante explicar aos alunos como e porque é que se considera que rectas paralelas se cruzam no infinito (para os alunos do 10º ano, este conceito será mais difícil de compreender, por envolver a noção abstracta de infinito). Para o efeito, utilizo um desenho dinâmico, cujos elementos se podem animar durante a aula, e que pode experimentar aqui.

Esta noção, se adequadamente assimilada, é fundamental para a compreensão do conteúdo seguinte, relativo à diferenciação entre os Sistemas de Projecção Cónica e Projecção Central (neste último, as rectas projectantes são paralelas entre si, precisamente porque o seu centro de projecção se situa no infinito).

Um Sólido de Johnson num Exame de Geometria Descritiva

2008-09-05T14:58:00.021+01:00

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Geometria Descritiva A para o 11º ano de escolaridade

2008-08-28T09:47:00.010+01:00

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Geometria Descritiva A para o 10º ano de escolaridade

2008-08-28T07:59:00.012+01:00

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Exame de 2008- 2ª fase - Proposta de resolução

2008-07-18T23:13:00.021+01:00

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Exame de 2008 - 1ª fase - Proposta de resolução

2008-06-19T13:31:00.023+01:00

Espero que o Exame tenha corrido bem a todos.
Pessoalmente, só achei o exercício II ligeiramente mais complicado do que os da matéria semelhante dos exames dos anos anteriores, já que era necessário determinar primeiro os traços do plano oblíquo (através de uma recta paralela ou concorrente com a recta s, passando pelo ponto A), antes de o podermos rebater (em alternativa, o rebatimento também poderia ser realizado sobre um plano horizontal ou frontal auxiliar, considerando, para o efeito, outra recta horizontal ou frontal do plano (que não h alfa ou f alfa) como charneira ou eixo do rebatimento).

E o que acharam os meus visitantes do Exame de hoje? Digam-me a vossa opinião...

Exercício I

Veja o enunciado no Exercício 2 deste post.

Exercício 2

Veja o enunciado no exercício 5 deste post.

Exercício III

Veja o enunciado no exercício 12 deste post.

Exercício IV

Veja o enunciado no exercício 11 deste post.

Axonometria Clinogonal de um Cilindro de Revolução

2008-06-14T15:55:00.008+01:00

O seguinte exercício é adaptado de um teste que realizei recentemente aos meus alunos:
Constrói a Perspectiva Cavaleira de um cilindro de revolução, pertencente ao espaço do primeiro triedro, considerando os seguintes:
Dados sobre o sistema axonométrico:
- O eixo axonométrico x faz 130º com o eixo axonométrico z
- As projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico
Dados sobre o cilindro:
- As bases do cilindro têm 3cm de raio e são paralelas ao plano coordenado lateral
- O centro da base de menor abcissa é o ponto C (6; 5; 6)
- O cilidro tem 6cm de altura
Determina, com rigor, as geratrizes de contorno aparente do cilindro.

A proposta de resolução apresentada foi realizada com o CaRMetal e permite:
- movimentar o ponto X, modificando o ângulo do eixo axonométrico x com os eixos axonométricos y e z
- movimentar o ponto A ao longo do eixo x, modificando o ângulo das projectantes com o plano axonométrico
- animar o ponto A ao longo do eixo x (para tal, deverá clicar no botão da animação, a seguir no ponto A e duas vezes no eixo x).
Se, por algum motivo, o desenho desaparecer, saia da página e volte a entrar.

Intersecções nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva - 1

2008-06-13T00:18:00.006+01:00

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O Exame final de Geometria Descritiva aproxima-se…

2008-06-06T20:58:00.003+01:00

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Rebatimento de duas figuras planas concêntricas e complanares

2008-05-31T09:47:00.005+01:00

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Exame Nacional de 2007 - 1ª fase - Exercício IV

2008-05-29T16:00:00.005+01:00

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Axonometrias Clinogonais nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva - 1

2008-05-18T11:15:00.013+01:00

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Axonometrias Ortogonais nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva - 2

2008-05-07T09:02:00.004+01:00

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Axonometrias Ortogonais nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva - 1

2008-04-18T10:17:00.008+01:00

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Unidade 9 - REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA

2008-04-12T11:36:00.000+01:00

O último conteúdo a leccionar, que será objecto de resolução no exercício IV do Exame Nacional 708, compreende um Sistema de Representação diferente do Sistema de Dupla Projecção Ortogonal, dividindo-se em duas sub-unidades, as Axonometrias Ortogonais e as Axonometrias Clnogonais, leccionáveis ao longo de cerca de 36 tempos lectivos.
O seu estudo deverá atender à seguinte sequência:
Introdução ao Sistema de Representação Axonométrica
Caracterização e Aplicações
Axonometrias Ortogonais: Isometria, Dimetria e Trimetria
Generalidades
Determinação gráfica das escalas axonométricas
Rebatimento do plano definido por um par de eixos
Rebatimento do plano projectante de um eixo
Axonometrias ortogonais normalizadas
Axonometrias Clinogonais: Cavaleira e Planométrica (Militar)
Generalidades
Direcção e inclinação das projectantes
Determinação gráfica da escala axonométrica do eixo normal ao plano de projecção através do rebatimento do plano projectante desse eixo
Axonometrias clinogonais normalizadas
Representação Axonométrica de formas tridimensionais
Métodos de construção:
das coordenadas
do paralelepípedo circunscrito ou envolvente
dos cortes (só no caso da axonometria ortogonal)
Representação axonométrica de um conjunto de sólidos ou de um sólido dado em Representação Triédrica

Sombra de um cilindro oblíquo

2008-04-08T14:39:00.002+01:00

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Sombras de sólidos nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva

2008-02-26T15:54:00.006Z

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sombra de pirâmides
sombra de prismas
sombra de cones
sombra de cilindros

Sombras de figuras planas nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva

2008-02-26T10:56:00.001Z

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Unidade 8 - SOMBRAS

2008-02-26T10:39:00.001Z

Ainda sobre o exercício III do Exame Nacional 708 - tanto poderá ser pedida, ao examinando, a determinação de uma secção produzida num sólido por um plano secante (ver post anterior), como a determinação da sombra de um sólido.
Para a compreensão desta matéria, convém que, em tempo de aula, sejam abordados os seguintes sub-temas:
- Generalidades sobre a teoria das Sombras
- Noção de sombra própria, espacial, projectada (real e virtual)
- Direcção luminosa convencional
- Sombra projectada de pontos e segmentos de recta sobre os planos de projecção
- Sombra própria e sombra projectada de figuras planas sobre os planos de projecção (aconselho apenas a determinação das sombras de figuras planas contidas em planos horizontais, frontais ou de perfil, já que já não faz parte da matéria do exame a determinação da sombra da figura plana situada em qualquer tipo de plano)
- Sombra própria e sombra projectada de pirâmides (rectas ou oblíquas) com base horizontal, frontal ou de perfil, nos planos de projecção
- Sombra própria e sombra projectada de prismas (rectos ou oblíquos) com bases horizontais, frontais ou de perfil, nos planos de projecção
- Sombra própria e sombra projectada de cones (rectos ou oblíquos), com base horizontal, frontal ou de perfil, nos planos de projecção
- Sombra própria e sombra projectada de cilindros (rectos ou oblíquos) com bases horizontais, frontais ou de perfil, nos planos de projecção.
A leccionação deste conteúdo deverá estender-se ao longo de cerca de 40 tempos lectivos.
Esta matéria já apareceu muitas vezes em exercícios de exame nacional (da actual disciplina Geometria Descritiva A e na anterior Desenho e Geometria Descritiva A), como poderão constatar nos dois posts seguintes.

Secções nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva

2008-01-17T09:50:00.008Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui (pirâmides) e para aqui (prismas).

Unidade 7 - SECÇÕES

2008-01-01T10:21:00.000Z

No exercício III do Exame Nacional de GD-A, tanto poderá sair um exercício de determinação da figura de secção produzida num sólido por um plano secante, como um exercício de determinação da sombra produzida por um sólido, considerando a direcção luminosa convencional (tema que será aqui referido posteriormente).
O estudo das Secções deverá ser leccionado em cerca de 36 tempos lectivos de 45 minutos e compreende os seguintes sub-conteúdos:
- Secções produzidas em pirâmides ou prismas por planos horizontal, frontal e de perfil (sólidos com base(s) em qualquer tipo de plano)
- Secções produzidas em cones, cilindros e esfera por planos projectantes
- Secções produzidas em pirâmides e prismas de base(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil por qualquer tipo de plano
- Truncagem de sólidos.
Até ao momento, este conteúdo apareceu apenas duas vezes em exercícios de exame nacional, respectivamente, no exame de 2006-2ª fase e no exame de 2007-1ª Fase.

Mensagem de final de período

2007-12-19T11:10:00.000Z

E assim terminou o primeiro período do ano de 2007/2008.
Em Janeiro retomaremos o programa da disciplina, que se divide em quatro grandes temas:
- Secções produzidas em sólidos por planos secantes (projectantes ou não);
- Sombras produzidas por sólidos sobre os Planos de Projecção, considerando a direcção luminosa convencional;
- Axonometrias Ortogonais;
- Axonometrias Clinogonais.
Mas não falemos destas coisas por agora...

Espero que o ano lectivo esteja a correr bem a todos os meus alunos e a todos os que têm acompanhado o meu blog.
Aproveitem para descansar...
Desejo um feliz natal e um excelente novo ano, cheio de boas surpresas, todos os dias.
Até Janeiro,
Vera Viana

Problemas Métricos - Ângulos nos Exames nacionais de Geometria Descritiva

2007-11-29T10:31:00.006Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui

Unidade 6 - PROBLEMAS MÉTRICOS - ÂNGULOS

2007-11-18T14:07:00.001Z

Dos Problemas Métricos, este conteúdo é o que mais vezes apareceu nos exames nacionais da disciplina (em dez exercícios, enquanto que as Distâncias apareceram em seis).
Deverá ser leccionado em cerca de 12 tempos lectivos (6 aulas de 90 minutos, desejavelmente, até ao final deste primeiro período), compreendendo os seguintes sub-temas:

PROBLEMAS MÉTRICOS - ÂNGULOS
- Ângulo entre duas rectas concorrentes
- Ângulo entre duas rectas enviesadas (duas rectas enviesadas não formam, entre si, ângulo algum, porque não são concorrentes. São as suas direcções que fazem ângulos entre si - correctamente, este sub-tema deveria intitular-se "Ângulo entre as direcções de duas rectas enviesadas")
- Ângulo entre uma recta e um plano frontal ou horizontal
- Ângulo entre uma recta e um plano
- Ângulo entre um plano e um plano frontal ou horizontal
- Ângulo entre dois planos

Problemas métricos - Distâncias nos exames nacionais de Geometria Descritiva

2007-11-18T13:48:00.006Z

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui.

Unidade 5 - PROBLEMAS MÉTRICOS - DISTÂNCIAS

2007-11-08T16:01:00.001Z

O conteúdo programático seguinte corresponde à primeira parte da matéria sobre "Problemas Métricos", que têm sido uma presença quase obrigatória em todos os exames nacionais.
Num total de 19 exames de GD-A e DGD-A, entre 2002 e 2007, esta matéria só não apareceu em três exames - na 1ª e 2ª fase de 2007 (GD-A) e na 2ª Fase de 2006 (GD-A).
Na disciplina actualmente existente no Ensino Secundário (GD-A, Exame de código 708), e de acordo com a respectiva matriz do Exame Nacional, os Problemas Métricos poderão aparecer no exercício II.
Deverá ser leccionado em cerca de 8 tempos lectivos e compreende os seguintes sub-temas:
- Distância entre dois pontos
- Distância de um ponto a um plano
- Distância entre dois planos paralelos
- Distância de um ponto a uma recta.

Sólidos regulares de base(s) oblíqua(s) nos Exames nacionais de Gd-A

2007-10-23T13:55:00.005+01:00

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui.

Unidade 4 - PRISMAS E PIRÂMIDES DE BASES(S) SITUADAS EM PLANOS NÃO-PROJECTANTES

2007-10-22T19:01:00.004+01:00

A seguir ao Rebatimento de Planos não-projectantes, lecciono este conteúdo programático, não respeitando a sequência de conteúdos indicada no p rograma da disciplina.
Salienta-se que os autores do programa referem que: "É proposta uma sequência [de conteúdos] (...) que se julga ser mais conveniente. Isso não obsta, no entanto, a que cada professor leccione o Programa de modo diverso do proposto."
Esta alteração justifica-se, em meu entender, pelo facto de que o aluno, tendo aprendido recentemente a rebater e contra-rebater os planos não-projectantes, estará, em princípio, preparado para realizar exercícios em que este tipo de planos conterá a(s) base(s) dos sólidos seguintes:
- Pirâmides regulares com base situada num plano oblíquo
- Prismas regulares com bases situadas em planos oblíquos
- Pirâmides regulares com base situada num plano de rampa
- Prismas regulares com bases situadas em planos de rampa
Este conteúdo deverá ser leccionado em cerca de 14-16 tempos lectivos (7-8 aulas de 90 minutos).

Rebatimento do Plano Passante

2007-10-22T18:00:00.001+01:00

Apesar de eu não conhecer nenhum exercício de exame que peça a determinação de uma figura plana pertencente a um plano passante (só conheço os exames nacionais desde 1996), e considerando que este conteúdo faz parte do programa da disciplina, apresento aqui um exemplo, bastante simples.

O plano passante pode ser também designado por "plano de rampa passante", porque ele é, efectivamente, um plano de rampa que intersecta os Planos de Projecção no eixo x (razão pela qual os traços frontal e horizontal do plano coincidem com o eixo x).
Relembra-se que os planos bissectores beta13 e beta24 são dois planos passantes, cujos pontos têm sempre a cota igual ao afastamento e que dividem (bisseccionam) cada um dos quatro diedros em dois diedros iguais (os octantes).

Determina as projecções de um hexágono regular [ABCDEF], do primeiro diedro, pertencente ao plano bissector dos diedros ímpares, sabendo que:
- o vértice A tem 3 cm de cota
- o vértice B tem 3 cm de afastamento
- o hexágono tem 4cm de lado
- o vértice B situa-se à direita de A

Observação: Este exercício foi resolvido segundo o método do triângulo do rebatimento.O cateto [Fr1F1] do triângulo do rebatimento do vértice F corresponde à medida da sua cota

Rebatimento do Plano de Rampa nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva

2007-10-22T17:38:00.001+01:00

O conteúdo desta mensagem foi transferido para aqui.

Rebatimento do Plano oblíquo nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva

2007-10-10T21:41:00.016+01:00

1. Exame de 2002 - Prova Modelo (Exame de DGD-A, em vigor de 2002 a 2006)
Desenha as projecções de um quadrado [ABCD], pertencente a um plano oblíquo alfa:
- o centro do quadrado é o ponto O (-6; 3,5; 3)
- os traços do plano fazem, ambos, ângulos de 45º(abertura para direita) com o eixo x
- uma das diagonais é horizontal
- o vértice A está no traço horizontal do plano

Relatório desta resolução do exercício:
1. Determinam-se as projecções do ponto O
2. Para definir os traços do plano oblíquo, há que:
a) Desenhar uma recta que contenha o ponto O. Como uma das diagonais é uma recta horizontal (que terá, necessariamente, de conter o ponto O), desenhamos uma recta horizontal h, passando por O. A projecção horizontal desta recta deverá fazer um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x, por ser paralela ao traço horizontal do plano oblíquo.
b) Determina-se o traço frontal da recta h
c) Por F2h, desenha-se o traço frontal do plano oblíquo, a 45º (a.p.d.) com o eixo x.
d) No ponto em que f alfa intersecta o eixo x, desenhamos o traço horizontal de alfa, paralelo a h1.
3. Sendo A um dos vértices do quadrado, terá necessariamente cota nula, por pertencer ao traço horizontal de alfa, donde se conclui que A não pertencerá à recta h (dado que h tem 3cm de cota). O ponto A pertencerá à outra diagonal do quadrado, que deverá ser desenhada em rebatimento.
Para definir o quadrado, há que rebater o plano oblíquo que o contém - neste caso, optou-se por rebater o plano segundo o método das rectas horizontais (sendo h alfa a charneira do rebatimento):
4. Passando por F1h, desenhar uma linha perpendicular à charneira do rebatimento
5. Com centro no ponto em que f alfa e h alfa se intersectam, desenhar um arco de circunferência até intersectar esta linha, definindo o traço frontal da recta h em rebatimento (Fhr)
6. Unindo o ponto em que f alfa e h alfa se cruzam com Frh, definimos o traço frontal do plano oblíquo em rebatimento (f alfa r)
7. Por Frh, desenhar a recta horizontal h em rebatimento (que será paralela ao traço horizontal do plano)
8. A partir de O1, e através de uma perpendicular à charneira, definimos o ponto O em rebatimento (Or), quando esta linha intersecta a recta h rebatida.
10. Sendo as diagonais de um quadrado perpendiculares, desenhamos, em rebatimento e passando por Or, uma recta perpendicular a hr, que conterá os vértices A e C em rebatimento.
11. O ponto em que esta recta intersecta o traço horizontal do plano corresponde ao ponto A rebatido, pertencente ao traço horizontal do plano.
12. Pertencendo A à charneira, coincidirá com a sua projecção horizontal, A1, situando-se A2, necessariamente, no eixo x, por A ter cota nula.
13. Com centro em Or e abertura até Ar, po desenhar uma circunferência que definirá o quadrado em verdadeira grandeza e os vértices Br, Cr e Dr.
14. O contra-rebatimento dos vértices D e B é simples, por sabermos que ambos pertencerão à recta h - basta desenhar, a partir de Br e de Dr, rectas perpendiculares á charneira que definirão B1 e D1 ao intersectarem h1; as projecções B2 e D2 situar-se-ão em h2, determináveis através de perpendiculares ao eixo x.
15. Para contra-rebater o vértice C, desenhamos uma recta horizontal a em rebatimento, passando por Cr, até intersectar f alfa rebatido (definido no ponto 6 deste relatório), definindo o traço frontal desta recta a em rebatimento - Fra.
16. Com centro no ponto em que f alfa e h alfa intersectam o eixo x e abertura até Fra, desenhamos um arco que, ao intersectar f alfa, define F2a, a partir do qual definimos F1a no eixo x
17. Pelo traço frontal da recta a podemos desenhar as projecções da recta horizontal a (a2 paralelo ao eixo x e a1 paralelo a h alfa)
18. A perpendicular à charneira que passa por Cr definirá C1 (projecção horizontal do ponto C), ao intersectar a1 (projecção horizontal da recta a).
19. A partir de C1, definimos C2 em a2.
20. Estando já as projecções de todos os vértices do quadrado determinados, basta uni-los, a traço expressivo, obtendo a sua projecção horizontal [A1B1C1D1] e a sua projecção frontal [A2B2C2D2].

2. Exame de 2003 - 2ª Fase (Exame de DGD-B, em vigor de 2002 até 2006)
Desenhe as projecções de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo beta:
- os traços horizontal e frontal do plano beta fazem, respectivamente com o eixo x, ângulos de 45º e 60º, ambos com abertura para a esquerda
- os traços do plano beta intersectam-se na origem das coordenadas
- o vértice A está no traço horizontal do plano e tem 2 de afastamento
- o vértice B está no traço frontal do plano e tem 6 de cota

OBSERVAÇÃO: no exame nacional, os traços do plano oblíquo têm abertura para a direita.
Por lapso meu, tanto na solução como no enunciado deste blog, os traços do plano têm abertura para a esquerda.O processo de resolução é, porém, semelhante ao que era pretendido, com excepção do aspecto referido.

Relatório da resolução do exercício:
1. Desenhamos os traços do plano oblíquo
2. De acordo com o enunciado, os vértices A e B terão, respectivamente de coordenadas (2; 0) e (0; 6). Definimos as suas projecções, pertencendo A a h alfa e B a f alfa.
Para definir o triângulo, devemos rebater o plano que o contém (neste caso, optou-se por rebatê-lo sobre o plano Horizontal de Projecção, segundo o método do triângulo do rebatimento):
3. Identificamos a charneira do rebatimento, que será o traço horizontal do plano
4. O vértice A coincidirá com o seu rebatimento, por pertencer à charneira (A1 coincide com Ar)
5. Para rebater o vértice B temos de, a partir de B1, desenhar uma perpendicular à charneira (que ao intersectá-la, define um ponto a que atribuímos a notação K)
6. A partir de B1, desenhamos uma paralela à charneira, em que marcamos a medida da cota de B, definindo um ponto a que podemos atribuir a notação Br1.
7. Unindo K com Br1, temos a hipotenusa do triângulo do rebatimento do vértice B
8. Com centro em K e abertura até Br1, desenhamos um arco de circunferência que, ao cruzar com a perpendicular à charneira, define o ponto B em rebatimento (Br).
9. A partir de Ar e de Br, desenhamos um triângulo equilátero
Para contra-rebater o vértice C invertemos o processo utilizado para rebater o vértice B:
10. Por Cr, desenhamos uma perpendicular à charneira que, ao intersectá-la, define um ponto a que podemos atribuir também a notação K
11. Por este ponto K, desenhamos uma paralela à hipotenusa do triângulo do rebatimento do vértice B (referida no ponto 7 deste relatório)
12. Com centro em K e abertura até Cr, desenhamos um arco de circunferência que, ao intersectar a paralela à hipotenusa, definirá Cr1
13. Por Cr1, desenhamos uma paralela à charneira, definindo o triângulo do rebatimento do vértice C - o triãngulo [C1Cr1K]
14. A partir de C1 desenhamos uma perpendicular ao eixo x
15. A medida de [C1Cr1] corresponderá à medida da cota do vértice C, que podemos marcar na linha respectiva, a partir do eixo x
16. Basta unirmos as projecções de mesmo nome dos vértices A, B e C para definirmos as projecções do triângulo equilátero pedido.

3. Exame de 2006 - 2ª fase (DGD-B, em vigor de 2002 a 2006)
Determine as projecções do triângulo equilátero [ABC], pertencente a um plano oblíquo beta:
- o traço horizontal do plano do triângulo faz 55º (abertura para a esquerda) com o eixo x
- o triângulo está inscrito numa circunferência de centro em O (4; 3; 2)
- o ponto A (6; 1; 4) é um dos seus vértices.

4. Exame de 2006 - 2ª fase (GD-A, em vigor a partir de 2006)
Desenha as projecções do quadrado [ABCD] contido no plano oblíquo alfa:
- o ponto A (-5,5; 5; 3) é um dos seus vértices
- o vértice C tem abcissa nula e 2,5 de afastamento
- a diagonal [AC] pertence a uma recta oblíqua passante p
- o traço horizontal do plano faz, com o eixo x, 45º (abertura para a direita)

5. Exame 2008 - 1ª fase (exame de GD-A, em vigor a partir de 2006)
Represente pelas suas projecções o triângulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo α.
Dados:
– o ponto A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [BC] pertence à recta s;
– o ponto F, traço frontal da recta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;
– as projecções, horizontal e frontal, da recta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a
esquerda, com o eixo x;
– os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.