quarta-feira, 10 de outubro de 2007

Rebatimento do Plano oblíquo nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva

1. Exame de 2002 - Prova Modelo (Exame de DGD-A, em vigor de 2002 a 2006)
Desenha as projecções de um quadrado [ABCD], pertencente a um plano oblíquo alfa:
- o centro do quadrado é o ponto O (-6; 3,5; 3)
- os traços do plano fazem, ambos, ângulos de 45º(abertura para  direita) com o eixo x
- uma das diagonais é horizontal
- o vértice A está no traço horizontal do plano

Relatório desta resolução do exercício:
1. Determinam-se as projecções do ponto O
2. Para definir os traços do plano oblíquo, há que:
a) Desenhar uma recta que contenha o ponto O. Como uma das diagonais é uma recta horizontal (que terá, necessariamente, de conter o ponto O), desenhamos uma recta horizontal h,  passando por O. A projecção horizontal desta recta deverá fazer um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x, por ser paralela ao traço horizontal do plano oblíquo.
b) Determina-se o traço frontal da recta h
c) Por F2h, desenha-se o traço frontal do plano oblíquo, a 45º (a.p.d.) com o eixo x.
d) No ponto em que f alfa intersecta o eixo x, desenhamos o traço horizontal de alfa, paralelo a h1.
3. Sendo A um dos vértices do quadrado, terá necessariamente cota nula, por pertencer ao traço horizontal de alfa, donde se conclui que A não pertencerá à recta h (dado que h tem 3cm de cota). O ponto A pertencerá à outra diagonal do quadrado, que deverá ser desenhada em rebatimento.
Para definir o quadrado, há que rebater o plano oblíquo que o contém - neste caso, optou-se por rebater o plano segundo o método das rectas horizontais (sendo h alfa a charneira do rebatimento):
4. Passando por F1h, desenhar uma linha perpendicular à charneira do rebatimento
5. Com centro no ponto em que f alfa e h alfa se intersectam, desenhar um arco de circunferência até intersectar esta linha, definindo o traço frontal da recta h em rebatimento (Fhr)
6. Unindo o ponto em que f alfa e h alfa se cruzam com Frh, definimos o traço frontal do plano oblíquo em rebatimento (f alfa r)
7. Por Frh, desenhar a recta horizontal h em rebatimento (que será paralela ao traço horizontal do plano)
8. A partir de O1, e através de uma perpendicular à charneira, definimos o ponto O em rebatimento (Or), quando esta linha intersecta a recta h rebatida.
10. Sendo as diagonais de um quadrado perpendiculares, desenhamos, em rebatimento e passando por Or, uma recta perpendicular a hr, que conterá os vértices A e C em rebatimento.
11. O ponto em que esta recta intersecta o traço horizontal do plano corresponde ao ponto A rebatido, pertencente ao traço horizontal do plano.
12. Pertencendo A à charneira, coincidirá com a sua projecção horizontal, A1, situando-se A2, necessariamente, no eixo x, por A ter cota nula.
13. Com centro em Or e abertura até Ar, po desenhar uma circunferência que definirá o quadrado em verdadeira grandeza e os vértices Br, Cr e Dr.
14. O contra-rebatimento dos vértices D e B é simples, por sabermos que ambos pertencerão à recta h - basta desenhar, a partir de Br e de Dr, rectas perpendiculares á charneira que definirão B1 e D1 ao intersectarem h1; as projecções B2 e D2 situar-se-ão em h2, determináveis através de perpendiculares ao eixo x.
15. Para contra-rebater o vértice C, desenhamos uma recta horizontal a em rebatimento, passando por Cr, até intersectar f alfa rebatido (definido no ponto 6 deste relatório), definindo o traço frontal desta recta a em rebatimento - Fra.
16. Com centro no ponto em que f alfa e h alfa intersectam o eixo x e abertura até Fra, desenhamos um arco que, ao intersectar f alfa, define F2a, a partir do qual definimos F1a no eixo x
17. Pelo traço frontal da recta a podemos desenhar as projecções da recta horizontal a (a2 paralelo ao eixo x e a1 paralelo a h alfa)
18. A perpendicular à charneira que passa por Cr definirá C1 (projecção horizontal do ponto C), ao intersectar a1 (projecção horizontal da recta a).
19. A partir de C1, definimos C2 em a2.
20. Estando já as projecções de todos os vértices do quadrado determinados, basta uni-los, a traço expressivo, obtendo a sua projecção horizontal [A1B1C1D1] e a sua projecção frontal [A2B2C2D2].


2. Exame de 2003 - 2ª Fase (Exame de DGD-B, em vigor de 2002 até 2006)
Desenhe as projecções de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo beta:
- os traços horizontal e frontal do plano beta fazem, respectivamente com o eixo x, ângulos de 45º e 60º, ambos com abertura para a esquerda
- os traços do plano beta intersectam-se na origem das coordenadas
- o vértice A está no traço horizontal do plano e tem 2 de afastamento
- o vértice B está no traço frontal do plano e tem 6 de cota

OBSERVAÇÃO: no exame nacional, os traços do plano oblíquo têm abertura para a direita.
Por lapso meu, tanto na solução como no enunciado deste blog, os traços do plano têm abertura para a esquerda.O processo de resolução é, porém, semelhante ao que era pretendido, com excepção do aspecto referido.


Relatório da resolução do exercício:
1. Desenhamos os traços do plano oblíquo
2. De acordo com o enunciado, os vértices A e B terão, respectivamente de coordenadas (2; 0) e (0; 6). Definimos as suas projecções, pertencendo A a h alfa e B a f alfa.
Para definir o triângulo, devemos rebater o plano que o contém (neste caso, optou-se por rebatê-lo sobre o plano Horizontal de Projecção, segundo o método do triângulo do rebatimento):
3. Identificamos a charneira do rebatimento, que será o traço horizontal do plano
4. O vértice A coincidirá com o seu rebatimento, por pertencer à charneira (A1 coincide com Ar)
5. Para rebater o vértice B temos de, a partir de B1, desenhar uma perpendicular à charneira (que ao intersectá-la, define um ponto a que atribuímos a notação K)
6. A partir de B1, desenhamos uma paralela à charneira, em que marcamos a medida da cota de B, definindo um ponto a que podemos atribuir a notação Br1.
7. Unindo K com Br1, temos a hipotenusa do triângulo do rebatimento do vértice B
8. Com centro em K e abertura até Br1, desenhamos um arco de circunferência que, ao cruzar com a perpendicular à charneira, define o ponto B em rebatimento (Br).
9. A partir de Ar e de Br, desenhamos um triângulo equilátero
Para contra-rebater o vértice C invertemos o processo utilizado para rebater o vértice B:
10. Por Cr, desenhamos uma perpendicular à charneira que, ao intersectá-la, define um ponto a que podemos atribuir também a notação K
11. Por este ponto K, desenhamos uma paralela à hipotenusa do triângulo do rebatimento do vértice B (referida no ponto 7 deste relatório)
12. Com centro em K e abertura até Cr, desenhamos um arco de circunferência que, ao intersectar a paralela à hipotenusa, definirá Cr1
13. Por Cr1, desenhamos uma paralela à charneira, definindo o triângulo do rebatimento do vértice C - o triãngulo [C1Cr1K]
14. A partir de C1 desenhamos uma perpendicular ao eixo x
15. A medida de [C1Cr1] corresponderá à medida da cota do vértice C, que podemos marcar na linha respectiva, a partir do eixo x
16. Basta unirmos as projecções de mesmo nome dos vértices A, B e C para definirmos as projecções do triângulo equilátero pedido.


3. Exame de 2006 - 2ª fase (DGD-B, em vigor de 2002 a 2006)
Determine as projecções do triângulo equilátero [ABC], pertencente a um plano oblíquo beta:
- o traço horizontal do plano do triângulo faz 55º (abertura para a esquerda) com o eixo x
- o triângulo está inscrito numa circunferência de centro em O (4; 3; 2)
- o ponto A (6; 1; 4) é um dos seus vértices.

4. Exame de 2006 - 2ª fase (GD-A, em vigor a partir de 2006)
Desenha as projecções do quadrado [ABCD] contido no plano oblíquo alfa:
- o ponto A (-5,5; 5; 3) é um dos seus vértices
- o vértice C tem abcissa nula e 2,5 de afastamento
- a diagonal [AC] pertence a uma recta oblíqua passante p
- o traço horizontal do plano faz, com o eixo x, 45º (abertura para a direita)



5. Exame 2008 - 1ª fase (exame de GD-A, em vigor a partir de 2006)
Represente pelas suas projecções o triângulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo α.
Dados:
– o ponto A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [BC] pertence à recta s;
– o ponto F, traço frontal da recta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;
– as projecções, horizontal e frontal, da recta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a
esquerda, com o eixo x;
– os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.

21 comentários:

Avelelas disse...

No exercicio 2, os traços do plano tem abertura para a direita e nao para a esquerda como apareçe na solução.

Vemo-nos nas aulas...

joao pedro disse...

alguem consegue resolver este exercicio
vi o seu site.............e vi que entende de geometria..........
por favor resolva este exercicio e mande para mim............é muito urgente

Determine a sombra projectada nos planos de projecçao pelo losango(ABCD), situado no 1ºdiedro e contido num plano de perfil.

dados:
- o lado (AB) mede 7 cm, pertence ao plano frontal de projecçao e o vertice A tem 1 cm de cota;
- a diagonal maior (AC) faz um angulo de 30º com o plano frontal de projecçao.

considere a direcçao luminosa convencional.

email:jpedro_big@hotmail.com

Vera Viana disse...

Envio-lhe por e-mail a resolução deste exercício.
Bom trabalho

Anónimo disse...

estou com duvidas neste exercicio
alguem pode enviar por mail a explicaçao dele??

gilda_pereira88@hotmail.com
agradecia muito

Anónimo disse...

Estou com problemas em conseguir rebater a recta s do exercício 5 acerca do triângulo isósceles. Sei que o H da recta rebate sobre si mesmo mas e o F? Se puder, responda para o meu mail fatp08@gmail.com

Vera Viana disse...

Nesta resolução, o traço frontal da recta não foi rebatido, mas sim um ponto auxiliar, S, pertencente à recta s. Este ponto foi rebatido segundo o método do triângulo do rebatimento.
Se quisesse, porém, poderia rebater o traço frontal da recta, mas neste caso, e porque o ponto tem cota negativa, a paralela à charneira do rebatimento e a medida da cota do ponto F serão marcados para a direita e para cima de F1, de modo a que a hipotenusa do triângulo do rebatimento seja paralela às restantes hipotenusas dos triângulos do rebatimento.
Tente resolver o exercício rebatendo o ponto F desta forma. Se o não conseguir, poderei enviar-lhe uma imagem com a resolução.
De qualquer modo, seja qual for o ponto rebatido, o triângulo resultante terá de ser sempre o mesmo.

JT disse...

Eu estava a tentar fazer o primeiro, mas não percebi para que me serve rebater o traço frontal. O meu professor disse que não precisavamos de apresentar o plano rebatido. Outra coisa que eu não percebi foi como é que se acha o ponto O rebatido, só consegui chegar lá através do método do triângulo do rebatimento de outra forma não percebo.

Vera Viana disse...

Resposta a JT:
O exercício que referiu foi resolvido através do chamado "Método das Rectas Horizontais". Em vez do triângulo do rebatimento, utilizam-se rectas horizontais pertencentes ao plano, passando por cada um dos vértices do quadrado. Estas rectas são paralelas ao traço horizontal do plano, tanto na projecção horizontal, como em rebatimento. Neste método, é necessário desenhar o traço frontal do plano rebatido, sem o qual não se pode contra-rebater as rectas horizontais (neste caso, apenas a recta que contém o vértice C é que foi contra-rebatida).
Claro que pode resolver o exercício com o método que entender, preferencialmente com aquele que melhor saiba trabalhar (rebatendo o plano sobre o PHP ou sobre o PFP pelo método do triângulo do rebatimento, pelo método das rectas horizontais ou das rectas frontais).
Talvez o seu professor não lhe tenha explicado estes dois últimos métodos por achar que lhe seria suficiente saber apenas o método do triângulo do rebatimento.
Acrescentarei um relatório da resolução deste exercício, para melhor compreensão desta proposta de resolução.

JT disse...

Muito obrigada pela ajuda, agora sim consegui fazer. Agora só uma dúvida no 5, as rectas a e s são paralelas? E o ponto S é ao calhas pertencente à recta s?

Vera Viana disse...

Correcto.
Para determinar os traços do plano oblíquo, foi necessário desenhar uma outra recta do plano, paralela ou concorrente com a recta dada - neste caso, foi desenhada a recta a, paralela à recta s (também poderia ser uma concorrente, desde que o ponto de concorrência pertencesse, claro, a ambas as rectas).
O ponto S é um ponto auxiliar que nos permitiu determinar a recta s rebatida. É "ao calhas", mas pertencente à recta s, claro.

Anónimo disse...

No exercicio 2, o ponto B tem cota 6 e não é o A que tem afastamento 6

Vera Viana disse...

Agradeço ao anónimo que salientou o meu lapso nas projecções dos pontos A e B, lapso este que já foi resolvido.
As coordenadas de A e de B correspondem agora ao que era pedido pelo enunciado.
Muito obrigada mais uma vez.

Anónimo disse...

Olá de novo,
obrigada pela sua resposta (perguntei como é que se efectua o rebatimento de um plano horizontal de nível, o meu problema já se resolveu: lembrei-me que nao era necesssário o seu rebatimento pelo facto de o ângulo por ele formado ser igual ao ângulo formado de um plano com o p.h.p.).
Agora, surgiu-me mais uma questão: estes exercícios sao todos possiveis de resolver atraves do triangulo de rebatimento?
Ja tentei o ultimo, apesar de ser so um esboço, parece-me possivel.

Obrigada e um bom feriado

Vera Viana disse...

Olá.
Ainda bem que a dúvida sobre o plano horizontal se resolveu.
Não percebi a sua pergunta - por "estes exercícios" está a referir-se aos que estão nesta mensagem?
É que todos eles,exceptuando o primeiro, foram resolvidos através do método do triângulo do rebatimento.
Este tipo de exercícios pode ser resolvido através do rebatimento do plano, tanto sobre o PHP como sobre o PFP, segundo o Método do triângulo do rebatimento ou segundo o método das rectas horizontais ou frontais.
Além disso, a verdadeira grandeza das figuras pertencentes a este plano também pode ser determinada pelo método da Mudança de Diedro.

Anónimo disse...

como é que a setora consegue achar o traço frontal do plano no exercicio 4 assinado Helder 11E

Vera Viana disse...

Olá, Hélder
O traço frontal do plano não era necessário à resolução do exercício, mas para o definir, bastava determinar o traço frontal de qualquer recta que contivesse, por exemplo, um dos lados do quadrado (neste caso, defini a que contém o lado [AD]) e uni-lo ao ponto em que o traço horizontal intersecta o eixo x.
Bom estudo e até amanhã

Anónimo disse...

Olá chamo.me sara e estou com duvidas em relaçao ao contra rebatimentos de pontos no plano obliquo, por exemplo no exercicio 2 nao percebo como podemos marcar a cota do ponto C.

Vera Viana disse...

Olá, Sara
A cota do vértice C do triângulo do exercício 2 corresponde à medida entre C1 e Cr1 - o cateto menor do triângulo do rebatimento do ponto C, que foi definido por inversão do rebatimento.
Espero ter conseguido ajudá-la.
Bom trabalho.

Anónimo disse...

sim, sim isso eu percebo, mas nao percebo é como podemos marcar a cota se esta nao nos é dada no enunciado...


Obrigado,
Sara

Vera Viana disse...

Olá, Sara.
Por me parecer que as suas dúvidas em relação ao rebatimento do plano oblíquo serão maiores do que a questão que me referiu anteriormente, acrescentei a esta mensagem, e logo a seguir ao exercício 2, um relatório com uma explicação dos passos necessários à sua resolução.
Espero ter conseguido ajudá-la a entender melhor estas questões.
Bom trabalho

Inês Silva disse...

olá, boa tarde.
Como consigo encontrar os pontos B e C do exercicio 5.
Obrigada.