Secção produzida por um plano passante num cilindro oblíquo de bases horizontais

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Superfícies regradas - 1

A exposição de modelos tridimensionais de superfícies do museu do ISEP deu-me inspiração para desenhar, em representação isométrica, simulações de algumas superfícies regradas, introduzindo-lhes algumas animações (os elementos geradores de cada superfície situam-se no primeiro triedro, pertencendo a directriz ao plano coordenado horizontal xy).
A representação de superfícies regradas, em Representação Diédrica ou Axonométrica, não faz parte do programa actual da disciplina de Geometria Descritiva A, o que não implica que deixe de ser interessante ou facilite até a compreensão de outros conteúdos que vêm a propósito...
Como é que se gera uma superfície? Imaginemos uma semi-recta (idealmente, seria uma recta (infinita), mas fazer este tipo de desenhos com rectas torna-se um pouco mais complexo do que o pretendido, razão pela qual consideraremos que a geratriz pode ser uma semi-recta e, em alguns casos, um segmento de recta); esta semi-recta, deslocar-se-á segundo uma determinada regra e seguindo a direcção dada por outro elemento geométrico, chamado directriz, que dirigirá a geratriz.
Consideremos que a directriz é circunferencial e que a geratriz se vai movimentar segunda essa circunferência, mas, num primeiro momento, mantendo-se fixa num ponto pertencente ao eixo (a linha que passa pelo centro da circunferência, sendo-lhe (neste caso) perpendicular):



A trajectória da geratriz define uma superfície cónica, de vértice V:



A superfície que se vai gerar será cónica ou cilíndrica, consoante a distância a que o ponto de intersecção entre a geratriz e o eixo se situa da directriz.
No primeiro caso, este ponto (que será o vértice da superfície cónica) situa-se a uma distância finita da directriz, enquanto que, no último caso, o ponto de intersecção entre a geratriz e o eixo situar-se-á no infinito, ficando as geratrizes paralelas entre si.
Veja aqui uma tentativa de demonstração de como é que rectas paralelas se intersectam no infinito, a partir do qual poderemos concluir que a superfície cilíndrica é uma superfície cónica de vértice situado no infinito...



Para melhor compreensão, no desenho seguinte, as geratrizes são segmentos de recta, de modo a que vemos apenas um troço da superfície gerada originalmente:



Se a directriz for uma linha poligonal (neste caso, um dodecágono regular), e se a geratriz se deslocar segundo esta directriz, mantendo-se fixa num ponto pertencente ao eixo da superfície (neste caso, também perpendicular ao dodecágono, passando pelo seu centro), a superfície gerada será uma superfície piramidal dodecagonal, sendo aquele ponto o seu vértice.
Se movimentarmos o ponto de intersecção entre a geratriz e o eixo, deslocando-o ao longo do mesmo, podemos ver que a superfície gerada variará de piramidal a prismática. Neste último caso, o ponto de intersecção entre a geratriz e o eixo situar-se-á no infinito, o que implica que as geratrizes serão paralelas entre si:



Neste outro desenho, as geratrizes são segmentos de recta, pelo que vemos apenas um troço da superfície original. Para melhor compreensão da superfície resultante, atribuí traço contínuo expressivo às geratrizes que seriam visíveis e traço contínuo fino às que seriam invisíveis:



Mal me seja possível, voltarei a este assunto...