Representação diédrica de uma Pirâmide quadrangular regular de base oblíqua

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Representação de um Quadrado pertencente a um Plano Oblíquo em tensão

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Representação diédrica de uma Pirâmide hexagonal regular de base oblíqua

A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos (se aceder ao botão com as duas setas, poderá fazer avançar ou retroceder a sequência dos passos da resolução. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar).

Representa, com um traçado adequado, as projecções de uma Pirâmide hexagonal regular situada no espaço do primeiro diedro, sabendo que:
- a base [ABCDEF] pertence ao plano oblíquo alfa, cujos traços horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º e 45º, ambos com abertura para a direita
- A (8,5; 3)
- a aresta [BC] pertence ao Plano Frontal de Projecção
- o vértice principal da pirâmide situa-se no Plano Horizontal de Projecção.

Este exercício foi adaptado a partir deste.
As projecções da base da pirâmide foram preenchidas com uma mancha azul, de modo a facilitar a compreensão das invisibilidades das arestas laterais da pirâmide.

O processo de resolução aqui apresentado é um dos exemplos possíveis que poderiam ser seguidos para a resolução deste exercício.

Representação diédrica de um Hexágono regular pertencente a um Plano Oblíquo

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Representação diédrica de um Prisma pentagonal recto de bases oblíquas

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Representação diédrica de um Pentágono regular pertencente a um Plano Oblíquo

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Sólidos regulares de base(s) oblíqua(s) nos Exames nacionais de Gd-A

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Rebatimento do Plano oblíquo nos Exames Nacionais de Geometria Descritiva

1. Exame de 2002 - Prova Modelo (Exame de DGD-A, em vigor de 2002 a 2006)
Desenha as projecções de um quadrado [ABCD], pertencente a um plano oblíquo alfa:
- o centro do quadrado é o ponto O (-6; 3,5; 3)
- os traços do plano fazem, ambos, ângulos de 45º(abertura para  direita) com o eixo x
- uma das diagonais é horizontal
- o vértice A está no traço horizontal do plano

Relatório desta resolução do exercício:
1. Determinam-se as projecções do ponto O
2. Para definir os traços do plano oblíquo, há que:
a) Desenhar uma recta que contenha o ponto O. Como uma das diagonais é uma recta horizontal (que terá, necessariamente, de conter o ponto O), desenhamos uma recta horizontal h,  passando por O. A projecção horizontal desta recta deverá fazer um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x, por ser paralela ao traço horizontal do plano oblíquo.
b) Determina-se o traço frontal da recta h
c) Por F2h, desenha-se o traço frontal do plano oblíquo, a 45º (a.p.d.) com o eixo x.
d) No ponto em que f alfa intersecta o eixo x, desenhamos o traço horizontal de alfa, paralelo a h1.
3. Sendo A um dos vértices do quadrado, terá necessariamente cota nula, por pertencer ao traço horizontal de alfa, donde se conclui que A não pertencerá à recta h (dado que h tem 3cm de cota). O ponto A pertencerá à outra diagonal do quadrado, que deverá ser desenhada em rebatimento.
Para definir o quadrado, há que rebater o plano oblíquo que o contém - neste caso, optou-se por rebater o plano segundo o método das rectas horizontais (sendo h alfa a charneira do rebatimento):
4. Passando por F1h, desenhar uma linha perpendicular à charneira do rebatimento
5. Com centro no ponto em que f alfa e h alfa se intersectam, desenhar um arco de circunferência até intersectar esta linha, definindo o traço frontal da recta h em rebatimento (Fhr)
6. Unindo o ponto em que f alfa e h alfa se cruzam com Frh, definimos o traço frontal do plano oblíquo em rebatimento (f alfa r)
7. Por Frh, desenhar a recta horizontal h em rebatimento (que será paralela ao traço horizontal do plano)
8. A partir de O1, e através de uma perpendicular à charneira, definimos o ponto O em rebatimento (Or), quando esta linha intersecta a recta h rebatida.
10. Sendo as diagonais de um quadrado perpendiculares, desenhamos, em rebatimento e passando por Or, uma recta perpendicular a hr, que conterá os vértices A e C em rebatimento.
11. O ponto em que esta recta intersecta o traço horizontal do plano corresponde ao ponto A rebatido, pertencente ao traço horizontal do plano.
12. Pertencendo A à charneira, coincidirá com a sua projecção horizontal, A1, situando-se A2, necessariamente, no eixo x, por A ter cota nula.
13. Com centro em Or e abertura até Ar, po desenhar uma circunferência que definirá o quadrado em verdadeira grandeza e os vértices Br, Cr e Dr.
14. O contra-rebatimento dos vértices D e B é simples, por sabermos que ambos pertencerão à recta h - basta desenhar, a partir de Br e de Dr, rectas perpendiculares á charneira que definirão B1 e D1 ao intersectarem h1; as projecções B2 e D2 situar-se-ão em h2, determináveis através de perpendiculares ao eixo x.
15. Para contra-rebater o vértice C, desenhamos uma recta horizontal a em rebatimento, passando por Cr, até intersectar f alfa rebatido (definido no ponto 6 deste relatório), definindo o traço frontal desta recta a em rebatimento - Fra.
16. Com centro no ponto em que f alfa e h alfa intersectam o eixo x e abertura até Fra, desenhamos um arco que, ao intersectar f alfa, define F2a, a partir do qual definimos F1a no eixo x
17. Pelo traço frontal da recta a podemos desenhar as projecções da recta horizontal a (a2 paralelo ao eixo x e a1 paralelo a h alfa)
18. A perpendicular à charneira que passa por Cr definirá C1 (projecção horizontal do ponto C), ao intersectar a1 (projecção horizontal da recta a).
19. A partir de C1, definimos C2 em a2.
20. Estando já as projecções de todos os vértices do quadrado determinados, basta uni-los, a traço expressivo, obtendo a sua projecção horizontal [A1B1C1D1] e a sua projecção frontal [A2B2C2D2].


2. Exame de 2003 - 2ª Fase (Exame de DGD-B, em vigor de 2002 até 2006)
Desenhe as projecções de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo beta:
- os traços horizontal e frontal do plano beta fazem, respectivamente com o eixo x, ângulos de 45º e 60º, ambos com abertura para a esquerda
- os traços do plano beta intersectam-se na origem das coordenadas
- o vértice A está no traço horizontal do plano e tem 2 de afastamento
- o vértice B está no traço frontal do plano e tem 6 de cota

OBSERVAÇÃO: no exame nacional, os traços do plano oblíquo têm abertura para a direita.
Por lapso meu, tanto na solução como no enunciado deste blog, os traços do plano têm abertura para a esquerda.O processo de resolução é, porém, semelhante ao que era pretendido, com excepção do aspecto referido.

Relatório da resolução do exercício:
1. Desenhamos os traços do plano oblíquo
2. De acordo com o enunciado, os vértices A e B terão, respectivamente de coordenadas (2; 0) e (0; 6). Definimos as suas projecções, pertencendo A a h alfa e B a f alfa.
Para definir o triângulo, devemos rebater o plano que o contém (neste caso, optou-se por rebatê-lo sobre o plano Horizontal de Projecção, segundo o método do triângulo do rebatimento):
3. Identificamos a charneira do rebatimento, que será o traço horizontal do plano
4. O vértice A coincidirá com o seu rebatimento, por pertencer à charneira (A1 coincide com Ar)
5. Para rebater o vértice B temos de, a partir de B1, desenhar uma perpendicular à charneira (que ao intersectá-la, define um ponto a que atribuímos a notação K)
6. A partir de B1, desenhamos uma paralela à charneira, em que marcamos a medida da cota de B, definindo um ponto a que podemos atribuir a notação Br1.
7. Unindo K com Br1, temos a hipotenusa do triângulo do rebatimento do vértice B
8. Com centro em K e abertura até Br1, desenhamos um arco de circunferência que, ao cruzar com a perpendicular à charneira, define o ponto B em rebatimento (Br).
9. A partir de Ar e de Br, desenhamos um triângulo equilátero
Para contra-rebater o vértice C invertemos o processo utilizado para rebater o vértice B:
10. Por Cr, desenhamos uma perpendicular à charneira que, ao intersectá-la, define um ponto a que podemos atribuir também a notação K
11. Por este ponto K, desenhamos uma paralela à hipotenusa do triângulo do rebatimento do vértice B (referida no ponto 7 deste relatório)
12. Com centro em K e abertura até Cr, desenhamos um arco de circunferência que, ao intersectar a paralela à hipotenusa, definirá Cr1
13. Por Cr1, desenhamos uma paralela à charneira, definindo o triângulo do rebatimento do vértice C - o triãngulo [C1Cr1K]
14. A partir de C1 desenhamos uma perpendicular ao eixo x
15. A medida de [C1Cr1] corresponderá à medida da cota do vértice C, que podemos marcar na linha respectiva, a partir do eixo x
16. Basta unirmos as projecções de mesmo nome dos vértices A, B e C para definirmos as projecções do triângulo equilátero pedido.


3. Exame de 2006 - 2ª fase (DGD-B, em vigor de 2002 a 2006)
Determine as projecções do triângulo equilátero [ABC], pertencente a um plano oblíquo beta:
- o traço horizontal do plano do triângulo faz 55º (abertura para a esquerda) com o eixo x
- o triângulo está inscrito numa circunferência de centro em O (4; 3; 2)
- o ponto A (6; 1; 4) é um dos seus vértices.

4. Exame de 2006 - 2ª fase (GD-A, em vigor a partir de 2006)
Desenha as projecções do quadrado [ABCD] contido no plano oblíquo alfa:
- o ponto A (-5,5; 5; 3) é um dos seus vértices
- o vértice C tem abcissa nula e 2,5 de afastamento
- a diagonal [AC] pertence a uma recta oblíqua passante p
- o traço horizontal do plano faz, com o eixo x, 45º (abertura para a direita)

5. Exame 2008 - 1ª fase (exame de GD-A, em vigor a partir de 2006)
Represente pelas suas projecções o triângulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo α.
Dados:
– o ponto A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [BC] pertence à recta s;
– o ponto F, traço frontal da recta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;
– as projecções, horizontal e frontal, da recta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a
esquerda, com o eixo x;
– os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.

Unidade 3 - REBATIMENTO DE PLANOS NÃO-PROJECTANTES

O próximo conteúdo programático (a leccionar em cerca de 14 tempos lectivos) inclui os seguintes sub-temas:

A) Rebatimento do Plano Oblíquo segundo o Método do Triângulo do Rebatimento:
- Verdadeira grandeza de segmentos de recta pertencentes ao plano oblíquo
- Rebatimento de rectas pertencentes ao plano oblíquo
- Verdadeira grandeza de figuras planas (polígonos ou círculos) pertencentes ao plano oblíquo

B) Rebatimento do Plano Oblíquo segundo o Método das rectas horizontais ou frontais:
- Verdadeira grandeza de figuras planas (polígonos ou círculos) pertencentes ao plano oblíquo

C) Rebatimento do Plano de Rampa segundo o Método do Triângulo do Rebatimento:
- Verdadeira grandeza de segmentos de recta pertencentes ao plano de rampa
- Rebatimento de rectas pertencentes ao plano de rampa
- Verdadeira grandeza de figuras planas (polígonos ou círculos) pertencentes ao plano de rampa

D) Rebatimento do Plano Passante segundo o Método do Triângulo do Rebatimento:
- Verdadeira grandeza de segmentos de recta pertencentes ao plano passante
- Rebatimento de rectas pertencentes ao plano passante
- Verdadeira grandeza de figuras planas (polígonos ou círculos) pertencentes ao plano passante

Observação: Por necessidade de concisão, lecciono a determinação da verdadeira grandeza de elementos pertencentes ao plano oblíquo apenas pelo processo dos Rebatimentos (não leccionando a Mudança de Diedro para planos não-projectantes).
O Rebatimento do plano oblíquo sobre um plano horizontal ou sobre um plano frontal será leccionado posteriormente, durante o conteúdo "Problemas Métricos".